Glidande Medelvärde In R Paket

Jag har en tidsserie i ggplot2-paketet och jag har utfört det rörliga genomsnittet och jag skulle vilja lägga till resultatet av glidande medelvärde i tidsserien. Exempel på dataset p31.ambtemp dt -1 14 2007-09 -29 00 01 57 -1 12 2007-09-29 00 03 57 -1 33 2007-09-29 00 05 57 -1 44 2007-09-29 00 07 57 -1 54 2007-09-29 00 09 57 - 1 29 2007-09-29 00 11 57.Applicerad kod för tidsseriepresentation. Sammanställning av tidsseriepresentation. Sammanställning av rörlig genomsnittsplott Exempel på förväntade resultat. Utmaningen är att tidsseriedata är upptagna från dataset som inkluderar tidsstämplar Och temperatur men Flytta genomsnittliga data inkluderar bara genomsnittskolumnen och inte tidsstämplarna och montering av dessa två kan orsaka inkonsekvens. Flytta medelvärden i R. Såvitt jag vet, har R inte en inbyggd funktion för att beräkna glidande medelvärden. Filterfunktionen, men vi kan skriva en kort funktion för att flytta medelvärden. Vi kan då använda funktionen på vilken data som helst mav data, eller mav data, 11 om vi wan T för att ange ett annat antal datapunkter än standard 5-plottningen fungerar som förväntat plot mav-data. Förutom antalet datapunkter över vilka i genomsnitt kan vi också ändra sidogränssnittet för filterfunktionerna sidor 2 använder båda sidorna Sidor 1 använder endast tidigare värden. Navigering navigeringsnavigering. Användning av R för tidsserieanalys. Tidsserieanalys. Denna häfte beskriver hur du använder den statistiska programvaran R för att utföra några enkla analyser som är vanliga vid analys av tidsseriedata. I det här häftet förutsätts att läsaren har viss grundläggande kunskaper om tidsserieanalys och huvudboken för häftet är inte att förklara tidsserieanalys utan att förklara hur man utför dessa analyser med R. Om du är ny på tidsserier Analys och vill lära mig mer om några av de begrepp som presenteras här rekommenderar jag starkt Open University-boken Tidsserie-produktkod M249 02, tillgänglig från Open University Shop. In this Häfte, kommer jag att använda tidsseriedatasatser som Rob Hyndman vänligen gjort tillgängligt i sitt tidsseriedatabibliotek. Om du gillar det här häftet kan du också kolla in min broschyr på att använda R för biomedicinsk statistik, och Min broschyr om att använda R för multivariatanalys. Uppläsning av tidsseriedata. Det första du vill göra för att analysera dina tidsseriedata är att läsa in det i R och att plotta tidsserien. Du kan läsa in data i R med hjälp av Skanningsfunktionen, som förutsätter att dina data för successiva tidpunkter ligger i en enkel textfil med en kolumn. Till exempel innehåller filen data om åldern för de efterföljande kungarna i England, som börjar med William the Conqueror-ursprungliga källan Hipel och Mcleod, 1994. Datasatsen ser så här ut. Bara de första linjerna i filen har visats De första tre raderna innehåller lite kommentar på data och vi vill ignorera det när vi läser in data i R Vi kan använda detta Genom att använda övergångsparametern för th E scan-funktionen, som anger hur många rader högst upp i filen som ska ignoreras För att läsa filen i R, ignorerar de tre första raderna, skriver vi. I detta fall har dödsåldern på 42 på varandra följande kungar i England lästs in i De variabla kungarna. När du har läst tidsseriedata i R är nästa steg att lagra data i ett tidsserieobjekt i R så att du kan använda R s många funktioner för att analysera tidsseriedata. För att lagra data i Ett tidsserieobjekt använder vi ts-funktionen i R Till exempel, för att lagra data i variabellkungarna som ett tidsseriensobjekt i R, skriver vi. Ibland kan tidsseriedatasatsen du har har samlats in med jämna mellanrum Som var mindre än ett år, till exempel månadsvis eller kvartalsvis. I det här fallet kan du ange hur många gånger data samlades per år genom att använda frekvensparametern i ts-funktionen. För månadsversionsdata anger du frekvens 12, Medan du för kvartalsvisa tidsseriedata ställer in frekvens 4.You Kan också ange det första året som uppgifterna samlades in och det första intervallet i det året med hjälp av startparametern i ts-funktionen. Om den första datapunkten motsvarar andra kvartalet 1986 skulle du ange start 1986 , 2. Ett exempel är en dataset av antalet födelser per månad i New York City, från januari 1946 till december 1959 samlades in ursprungligen av Newton Dessa data finns i filen Vi kan läsa in data i R, och lagra den som En tidsserieobjekt, genom att skriva. På samma sätt innehåller filen månadsförsäljning till en souvenirbutik vid en strandortstad i Queensland, Australien, för januari 1987-december 1993 ursprungliga data från Wheelwright och Hyndman, 1998. Vi kan läsa in data i R Genom att skriva. Plotting Time Series. När du har läst en tidsserie i R, är det vanligtvis att göra en plot av tidsseriedata, som du kan göra med funktionen i R. För exempel att plotta tidsserien Av dödsåldern på 42 på varandra följande kungar i England, vi Type. Vi kan se från tidssplot att denna tidsserie troligtvis skulle kunna beskrivas med hjälp av en additivmodell, eftersom de slumpmässiga fluktuationerna i data är ungefär konstanta i storlek över tiden. Likaså, för att plotta tidsserierna för antalet födelser per Månad i New York City skriver vi. Vi kan se från denna tidsserie att det verkar finnas säsongsvariationer i antalet födelser per månad är det en topp varje sommar och ett tråg varje vinter Återigen verkar det som om denna tidsserie Kan förmodligen beskrivas med hjälp av en additivmodell, eftersom säsongsvariationerna är ungefär konstanta i storlek över tiden och verkar inte bero på tidssekvensens nivå och de slumpmässiga fluktuationerna verkar också vara ungefär konstanta i storlek över tiden. På liknande sätt , För att plotta tidsserierna för den månatliga försäljningen för souvenirbutiken vid en strandortsstad i Queensland, Australien, skriver vi. I detta fall verkar det som om en tillsatsmodell inte är lämplig för att beskriva denna tidsserie, eftersom storleken på Säsongsvariationerna och de slumpmässiga fluktuationerna tycks öka med tidsserien. Således kan vi behöva omvandla tidsserierna för att få en transformerad tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en additivmodell. Till exempel kan vi förvandla tiden Serier genom att beräkna den naturliga loggen för de ursprungliga data. Här kan vi se att storleken på säsongsvariationerna och slumpmässiga fluktuationer i de logtransformerade tidsserierna verkar vara ungefär konstanta över tiden och beror inte på tidens nivå Serie Således kan de log-transformerade tidsserierna förmodligen beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell. Komponeringstidsserie. Att komponera en tidsreaktor innebär att den separeras i dess ingående komponenter, som vanligtvis är en trendkomponent och en oregelbunden komponent, och om det är en Säsongsbetonade tidsserier, en säsongsbetonad komponent. Komponenterna för icke-säsongsmässiga data. En icke-säsongsbetonad tidsserie består av en trendkomponent och en oregelbunden komponent. Olves försöker separera tidsserierna i dessa komponenter, det vill säga uppskatta trendkomponenten och den oregelbundna komponenten. För att uppskatta trendkomponenten i en icke-säsongsbetonad tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell är det vanligt att använda En utjämningsmetod, som att beräkna det enkla rörliga genomsnittsvärdet för tidsserierna. SMA-funktionen i TTR R-paketet kan användas för att släta tidsseriedata med ett enkelt glidande medelvärde. För att använda denna funktion måste vi först installera TTR R Paketet för instruktioner om hur man installerar ett R-paket, se Så här installerar du ett R-paket När du har installerat TTR R-paketet kan du ladda TTR R-paketet genom att skriva. Du kan sedan använda SMA-funktionen för att släta tidsseriedata till Använd SMA-funktionen, du måste ange ordningsvolymen för det enkla glidande medlet, med parametern n Till exempel för att beräkna ett enkelt glidande medelvärde av ordning 5 ställer vi n 5 i SMA-funktionen. Till exempel, som diskuteras ovan , Tidsserien S av dödsåldern på 42 på varandra följande kungar i England verkar vara icke-säsongsbetonad och kan förmodligen beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell, eftersom de slumpmässiga fluktuationerna i data är ungefär konstanta i storlek över tiden. Därefter kan vi försöka uppskatta Trendkomponenten i denna tidsserie genom utjämning med ett enkelt glidande medelvärde För att jämna tidsserierna med ett enkelt glidande medelvärde av ordning 3 och avbilda data för glatt tidsserie, skriver vi. Det verkar fortfarande vara ganska många slumpmässiga fluktuationer I tidsserierna slätas med ett enkelt glidande medelvärde av order 3 Således, för att uppskatta trendkomponenten mer noggrant, kan vi kanske försöka utjämna data med ett enkelt glidande medelvärde av en högre order. Det tar lite försöks-och - Fel, för att hitta rätt mängd utjämning Till exempel kan vi försöka använda ett enkelt glidande medelvärde av order 8. Dataen jämnades med ett enkelt glidande medelvärde av order 8 ger en tydligare bild av trendkomponenten och vi kan se att ålder Engelska kungarnas död verkar ha minskat från ungefär 55 år till ca 38 år under de första 20 kungarnas regeringstid och ökade därefter efter det till cirka 73 år vid slutet av regeringens 40: e konung Tidsserier. Komponering av säsongsdata. En säsongs-tidsserie består av en trendkomponent, en säsongsbeständig komponent och en oregelbunden komponent. Avkomponering av tidsserier innebär att tidsserierna separeras i dessa tre komponenter, vilket beräknar dessa tre komponenter. För att uppskatta trendkomponenten Och säsongskomponenten i en säsongsbetonad tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell, kan vi använda nedbrytningsfunktionen i R Denna funktion uppskattar trend, säsong och oregelbundna komponenter i en tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell. Funktionen sönderdelas returnerar ett listobjekt som resultat där uppskattningarna av säsongskomponenten, trendkomponenten och den oregelbundna komponenten lagras i namngivna element i den listan o Bjects, kallad säsong, trend och slumpmässig respektive. Till exempel, som diskuteras ovan, är tidsserien för antalet födelser per månad i New York City säsongsbetonad med en topp varje sommar och igenom varje vinter och kan förmodligen beskrivas med användning av En tillsatsmodell, eftersom säsongs - och slumpmässiga fluktuationer tycks vara ungefär konstanta i storlek över tiden. För att uppskatta utvecklingen, säsongsbetonade och oregelbundna komponenter i denna tidsserie, skriver vi. De beräknade värdena för säsongs-, trend - och oregelbundna komponenter lagras nu I variabler birthstimeseriescomponents säsongsmässiga, birthstimeseriescomponents trend och birthstimeseriescomponents random. Till exempel kan vi skriva ut de beräknade värdena för säsongskomponenten genom att skriva. De beräknade säsongsfaktorerna ges för månaderna januari-december och är desamma för varje år Faktorn är för juli ca 1 46, och den lägsta är för februari ca -2 08, vilket indikerar att det verkar finnas en topp i födseln i Ju Ly och en fågel i födelse i februari varje år. Vi kan plotta den beräknade trenden, säsongsmässiga och oregelbundna komponenter i tidsserierna med hjälp av plottfunktionen, till exempel. Plottet ovan visar den ursprungliga tidsserie toppen, den beräknade trendkomponenten Sekund uppifrån, den beräknade säsongskomponenten tredje från toppen och den uppskattade oregelbundna komponentbotten Vi ser att den beräknade trendkomponenten visar en liten minskning från ca 24 1947 till ca 22 år 1948, följt av en stadig ökning från och med till ca 27 år 1959. Om du har en säsongsmässig tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en additivmodell kan du säsongsmässigt justera tidsserierna genom att beräkna säsongskomponenten och subtrahera den beräknade säsongskomponenten från de ursprungliga tidsserierna. Vi kan göra Detta med hjälp av uppskattningen av säsongskomponenten beräknad av sönderdelningsfunktionen. Till exempel, säsongsmässigt justera tidsserierna för antalet födelser per månad i New York City , Kan vi beräkna säsongskomponenten genom att sönderdela och sedan subtrahera säsongskomponenten från de ursprungliga tidsserierna. Vi kan sedan plotta säsongrensade tidsserier med hjälp av plottfunktionen genom att skriva. Du kan se att säsongsvariationen har tagits bort från Säsongrensade tidsserier Den säsongrensade tidsserien innehåller nu bara trendkomponenten och en oregelbunden komponent. Förutsättningar med exponentiell utjämning. Exponentialutjämning kan användas för att göra kortsiktiga prognoser för tidsseriedata. Simpel exponentiell utjämning. Om du har en Tidsserier som kan beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell med konstant nivå och ingen säsonglighet, kan du använda enkel exponentiell utjämning för att göra kortsiktiga prognoser. Den enkla exponentiella utjämningsmetoden ger ett sätt att uppskatta nivån vid aktuell tidpunkt. Utjämning styrs Av parametern alfa för uppskattningen av nivån vid den aktuella tidpunkten. Värdet av alfa ligger mellan 0 och 1 Va Lues av alfa som är nära 0 betyder att den lilla vikten placeras på de senaste observationerna när man gör prognoser för framtida värden. Till exempel innehåller filen total årlig nedgång i inches för London, från 1813-1912 ursprungliga data från Hipel och McLeod , 1994 Vi kan läsa in data i R och plotta den genom att skriva. Du kan se från plottet att det finns ungefär konstant nivå medelvärdet stannar konstant på ca 25 tum. De slumpmässiga fluktuationerna i tidsserierna verkar vara ungefär konstanta i storlek över Tid, så det är troligen lämpligt att beskriva data med hjälp av en tillsatsmodell. Således kan vi göra prognoser med enkel exponentiell utjämning. För att göra prognoser med enkel exponentiell utjämning i R kan vi passa en enkel exponentiell utjämningsprognisk modell med funktionen HoltWinters i R För att använda HoltWinters för enkel exponentiell utjämning måste vi ställa in parametrarna Beta FALSE och gamma FALSE i HoltWinters-funktionen, beta - och gamma parametrarna används för Holt s exp Funktionell utjämning eller Holt-Winters exponentiell utjämning, som beskrivs nedan. HoltWinters-funktionen returnerar en listvariabel som innehåller flera namngivna element. Till exempel, för att använda enkla exponentiella utjämningar för att göra prognoser för tidsserierna av årliga nederbörd i London Typ. Utgången från HoltWinters berättar att det uppskattade värdet för alfaparametern är cirka 0 024 Detta är mycket nära noll, vilket berättar att prognoserna är baserade på både senaste och färre senaste observationer, även om det läggs lite mer vikt på de senaste observationerna . Som standard gör HoltWinters bara prognoser för samma tidsperiod som omfattas av våra ursprungliga tidsserier. I det här fallet inkluderade vår ursprungliga tidsserie nederbörd för London från 1813-1912, så prognoserna är också för 1813-1912.I exemplet ovan , Har vi lagrat utdata från HoltWinters-funktionen i radeneriesforecasts för listvariabler. Prognoserna gjorda av HoltWinters lagras i ett namngivna element i det här lista variabla samtalet Ed monterade så att vi kan få sina värden genom att skriva. Vi kan plotta de ursprungliga tidsserierna mot prognoserna genom att skriva. Plotet visar de ursprungliga tidsserierna i svart och prognoserna som en röd linje. Tidsserien för prognoserna är mycket jämnare Än tidsserierna för de ursprungliga uppgifterna här. Som ett mått på prognosens noggrannhet kan vi beräkna summan av kvadratfel för prognosfel, det vill säga prognosfel för den tidsperiod som vår ursprungliga Tidsserier Summa av kvadratera fel lagras i ett namngivna element i radeneriesforecasts listrutiner som kallas SSE, så vi kan få sitt värde genom att skriva. Det är här summan av kvadratfel är 1828 855. Det är Är vanligt vid enkel exponentiell utjämning för att använda det första värdet i tidsserierna som det ursprungliga värdet för nivån. Exempelvis i tidsserierna för nederbörd i London är det första värdet 23 56 tum för nederbörd 1813 Du kan ange initialen Värde för nivån i HoltWinters func Genom att använda parametern Till exempel, för att göra prognoser med det ursprungliga värdet av nivån som ställts till 23 56, skriver vi. As förklarat ovan, gör HoltWinters som standard bara prognoser för den tidsperiod som omfattas av de ursprungliga uppgifterna, vilket är 1813- 1912 för regnskurets tidsserie Vi kan göra prognoser för ytterligare tidspunkter genom att använda funktionen i det prognospaketet R För att kunna använda funktionen måste vi först installera prognospaketet R för instruktioner om hur man installerar ett R-paket, se Så här Installera ett R-paket. När du har installerat prognospaketet R, kan du ladda prognos R-paketet genom att skriva. När du använder funktionen, som den första argumentinmatningen, skickar du den den prediktiva modellen som du redan har monterat med HoltWinters-funktionen Till exempel, när det gäller regnskurets tidsserie lagrade vi den prediktiva modellen som gjordes med HoltWinters i variabla rainseriesforecasts. Du anger hur många ytterligare tidspunkter du vill göra prognoser för genom att använda h para Mätare i Till exempel för att göra en prognos om nederbörd för åren 1814-1820 8 fler år använder vi typ. Funktionen ger dig prognosen för ett år, ett 80 förutsägelsesintervall för prognosen och ett 95 förutsägelsesintervall för prognosen Den prognostiserade nedgången för 1920 är till exempel ca 24 68 tum, med ett 95 förutsägelsesintervall på 16 24, 33 11. För att plotta förutsägelserna som görs av vi kan använda funktionen. Här prognoserna för 1913-1920 ritas som en blå Linjen, 80 förutsägelseintervallet som ett orange skuggat område och 95-prediktionsintervallet som ett gult skuggat område. Prognosfelen beräknas som de observerade värdena minus förutsagda värden för varje tidpunkt. Vi kan bara beräkna prognosfel för tiden Period som omfattas av vår ursprungliga tidsserie, som är 1813-1912 för regnskyddsdata Som nämnts ovan är ett mått på noggrannheten för den prediktiva modellen summan av kvadratfel SSE för prognosfel. - provprognosfel är stora Ed i de angivna elementresurserna i listvariabeln returnerad av Om den prediktiva modellen inte kan förbättras, borde det inte finnas några korrelationer mellan prognosfel för successiva förutsägelser. Med andra ord, om det finns samband mellan prognosfel för successiva förutsägelser, är det troligt Att de enkla exponentiella utjämningsprognoserna kan förbättras med en annan prognosteknik. För att se om detta är fallet kan vi få ett korrelogram av prognosfel för lags 1-20. Vi kan beräkna ett korrelogram av prognosfel Använder acf-funktionen i R För att ange den maximala fördröjningen som vi vill titta på använder vi parametern i acf. For exempel, för att beräkna ett korrelogram av prognosfel för London-regndata för lags 1-20, Vi kan skriva. Du kan se från provkorrelogrammet att autokorrelationen vid lag 3 bara rör betydningsgränserna För att testa om det finns signifikanta bevis för icke-nollkorrelationer a T lags 1-20 kan vi utföra ett Ljung-Box-test Detta kan göras i R med funktionen Den maximala fördröjningen som vi vill titta på specificeras med hjälp av lagsparametern i funktionen Till exempel för att testa om det finns Är autokorrelationer utan noll vid lags 1-20, för prognosfel för Londons regndata, skriver vi. Här är Ljung-Box-teststatistiken 17 4 och p-värdet är 0 6, så det finns lite Bevis för autokorrelationer utan noll i prognosfelen vid lags 1-20. För att vara säker på att den prediktiva modellen inte kan förbättras, är det också en bra idé att kontrollera om prognosfel normalt fördelas med medel noll och Konstant varians För att kontrollera om prognosfelen har konstant varians kan vi göra en tidsplan av prognosfel. Projektet visar att prognosfel i prover verkar ha ungefär konstant varians över tiden, även om storleken på Fluktuationer i början av tidsserien 1820-1830 kan vara något le Ss än det vid senare tidpunkter, t. ex. 1840-1850. För att kontrollera om prognosfel normalt fördelas med medelvärde noll kan vi plotta ett histogram av prognosfel med en överlagrad normal kurva som har medelvärde noll och samma standardavvikelse som Fördelning av prognosfel För att göra detta kan vi definiera en R-funktion plotForecastErrors nedan. Du måste kopiera funktionen ovan till R för att kunna använda den. Du kan sedan använda plotForecastErrors för att plotta ett histogram med överlagrad normal kurva för prognosfel För nedbördsprognoserna. Plotet visar att fördelningen av prognosfel centreras ungefär på noll och är mer eller mindre normalt fördelad, även om det verkar vara något sned åt höger jämfört med en normal kurva. Liten, och det är sålunda troligt att prognosfelen normalt fördelas med medelvärde. Ljung-Box-testet visade att det finns få tecken på autokorrelationer utan noll i provet för Ecast-fel och fördelningen av prognosfel verkar normalt fördelas med medel noll. Detta föreslår att den enkla exponentiella utjämningsmetoden ger en adekvärd prediktiv modell för Londonfallet, vilket förmodligen inte kan förbättras. Vidare antas att antagandena att 80 och 95 förutsägelser Intervaller baserades på att det inte finns några autokorrelationer i prognosfel och prognosfel fördelas normalt med medelvärdet noll och konstant varians är förmodligen giltig. Helt s Exponentiell utjämning. Om du har en tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell Med ökande eller minskande trend och ingen säsonglighet kan du använda Holt s exponentiella utjämning för att göra kortsiktiga prognoser. Haltens exponentiella utjämning uppskattar nivån och lutningen vid nuvarande tidpunkt. Utjämning styrs av två parametrar, alfa, för uppskattning av Nivån vid den aktuella tidpunkten och beta för uppskattningen av höjden b hos trendkomponenten vid c Tidig tidpunkt Som med enkel exponentiell utjämning har parametrarna alfa och beta värden mellan 0 och 1 och värden som ligger nära 0 betyder att den lilla vikten placeras på de senaste observationerna när man gör prognoser för framtida värden. Ett exempel på en Tidsserier som förmodligen kan beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell med en trend och ingen säsongsmässighet är tidsserierna för den årliga diametern hos kvinnors kjolar vid kanten, från 1866 till 1911. Data finns i filens ursprungliga data från Hipel och McLeod , 1994. Vi kan läsa in och rita data i R genom att skriva. Vi kan se från diagrammet att det var en ökning av håldiameter från ca 600 år 1866 till ca 1050 år 1880, och att efteråt minskade håldiametern till ca 520 år 1911. För att göra prognoser kan vi passa en prediktiv modell med HoltWinters-funktionen i R För att använda HoltWinters for Holt s exponentiell utjämning, måste vi ställa in parametern gamma FALSE gamma-parametern används för Holt-Winters exponentiella smo Othing, som beskrivs nedan. För exempel, för att använda Holts exponentiella utjämning för att passa en prediktiv modell för kjolkroppsdiameter, skriver vi. Det uppskattade värdet av alfa är 0 84 och av beta är 1 00 Dessa är båda höga och berättar för oss Att både uppskattningen av nuvärdet av nivån och höjden b av trendkomponenten baseras huvudsakligen på mycket nya observationer i tidsserierna. Detta ger god intuitiv känsla, eftersom tidsserien och höjden av tidsserierna båda Ändra ganska mycket över tiden Värdet av summan av kvadratfel för prognosfel är 16954. Vi kan plotta de ursprungliga tidsserierna som en svart linje, med de prognostiserade värdena som en röd linje ovanpå Det, genom att skriva. Vi kan se från bilden att proverna för prover överensstämmer ganska bra med de observerade värdena, även om de tenderar att ligga bakom de observerade värdena lite. Om du vill kan du ange initialvärdena för Nivå och höjden b av trendkomponenten genom att använda och argume Nts för HoltWinters-funktionen Det är vanligt att ställa in initialvärdet för nivån till det första värdet i tidsserien 608 för kjoldatan och initialvärdet för lutningen till det andra värdet minus det första värdet 9 för kjoldata Till exempel, för att passa en prediktiv modell till kjolens hemdata med hjälp av Holts exponentiella utjämning, med initialvärden på 608 för nivån och 9 för höjden b i trendkomponenten skriver vi. För enkel exponentiell utjämning kan vi göra Prognoser för framtida tider som inte täcks av de ursprungliga tidsserierna genom att använda funktionen i prognospaketet. Exempelvis var vår tidsseriedata för kjolhalsar 1866-1911, så vi kan förutspå 1912 till 1930 19 fler datapunkter och Plott dem, genom att skriva. Prognoserna visas som en blå linje, med 80 förutsägelseintervaller som ett orange skuggat område och 95 förutsägelseintervall som ett gult skuggat område. För enkel exponentiell utjämning kan vi kontrollera om den prediktiva modellen cou Ld förbättras genom att kontrollera om felprovprognosfel visar autokorrelationer med icke-nollpunkt i lags 1-20. Till exempel kan vi göra ett korrelogram för skirthemdata och genomföra Ljung-Box-testet genom att skriva. Här visar korrelogramet att provautokorrelationen för prognosprognosfel vid lag 5 överstiger signifikansgränserna. Vi förväntar oss emellertid att en av 20 autokorrelationer för de första tjugo lagren överskrider 95 signifikansgränserna enbart av en slump. Vi utför Ljung-Box-testet, p-värdet är 0 47, vilket indikerar att det finns få tecken på autokorrelationer utan noll i prognosfel vid inlagd 1-20. Som för enkel exponentiell utjämning bör vi också Kontrollera att prognosfelen har konstant varians över tiden och distribueras normalt med medelvärde. Vi kan göra detta genom att göra en tidpunkt för prognosfel och ett histogram av fördelningen av prognosfel med en överlagrad normal kurva. för Ecast-fel visar att prognosfelen har ungefär konstant varians över tiden Histogrammet för prognosfel visar att det är troligt att prognosfel normalt fördelas med medelvärde noll och konstant varians. Därför visar Ljung-Box-testet att det finns lite bevis Av autokorrelationer i prognosfelen medan tidsdiagrammet och histogrammet för prognosfel visar att det är troligt att prognosfel normalt fördelas med medelvärde noll och konstant varians. Därför kan vi dra slutsatsen att Holts exponentiella utjämning ger en adekvärd förutsägbar modell för Kjolkroppsdiametrar som förmodligen inte kan förbättras. Dessutom betyder det att antagandena att 80 och 95 förutsägelserna var baserade på är förmodligen giltiga. Höft-Winters Exponentiell utjämning. Om du har en tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en Tillsatsmodell med ökande eller minskande trend och säsonglighet, kan du använda Holt-Winters exponentiella utjämning för att göra s Hort-term forecasts. Holt-Winters exponentiell utjämning uppskattar nivån, lutningen och säsongskomponenten vid nuvarande tidpunkt. Utjämning styrs av tre parametrar alfa, beta och gamma för uppskattningar av nivån, höjden b av trendkomponenten, Och säsongskomponenten vid den aktuella tidpunkten Parametrarna alfa, beta och gamma har alla värden mellan 0 och 1 och värden som ligger nära 0 betyder att relativt liten vikt placeras på de senaste observationerna när man gör prognoser om Framtida värden. Ett exempel på en tidsserie som förmodligen kan beskrivas med hjälp av en additivmodell med trend och säsongsmässighet är tidsserien av loggen för månadsförsäljning för souvenirbutiken vid en strandortsstad i Queensland, Australien som diskuteras ovan. Göra prognoser, kan vi passa en prediktiv modell med HoltWinters-funktionen. Till exempel, för att passa en prediktiv modell för loggen i månadsförsäljningen i souvenirbutiken skriver vi. De uppskattade värdena för en Lpha, beta och gamma är 0 41, 0 00 respektive 0 96. Värdet av alfa 0 41 är relativt lågt vilket indikerar att uppskattningen av nivån vid den aktuella tidpunkten är baserad på både senaste observationer och några observationer i Mer avlägset förflutet Värdet av beta är 0 00, vilket indikerar att uppskattningen av höjden b av trendkomponenten inte uppdateras över tidsserierna och istället sätts lika med dess initialvärde. Detta ger god intuitiv känsla, eftersom nivån ändras Ganska lite över tidsserien men höjden b av trendkomponenten förblir ungefär densamma. I motsats härtill är värdet på gamma 0 96 högt vilket indikerar att uppskattningen av säsongskomponenten vid den aktuella tidpunkten bara är baserad på mycket Senaste observationer. Som en enkel exponentiell utjämning och Holts exponentiella utjämning kan vi plotta de ursprungliga tidsserierna som en svart linje med de prognostiserade värdena som en röd linje ovanpå. Vi ser från plottet att Holt-Winters exponentiella Metod i S mycket framgångsrik för att förutsäga säsongstopparna, som förekommer ungefär i november varje år. För att göra prognoser för framtida tider som inte ingår i de ursprungliga tidsserierna använder vi funktionen i prognospaketet. Till exempel är de ursprungliga uppgifterna för souvenirförsäljningen Från januari 1987 till december 1993 Om vi ​​ville göra prognoser för januari 1994 till december 1998 48 månader, och räkna prognoserna skulle vi skriva. Prognoserna visas som en blå linje och de orange och gula skuggade områdena visar 80 och 95 prediktionsintervaller. Vi kan undersöka huruvida den prediktiva modellen kan förbättras genom att kontrollera om proverfelproblemen visar icke-nollautokorrelationer vid lag 1-20 genom att göra ett korrelogram och utföra Ljung-Box-testet. Korrelogrammet visar att autokorrelationerna för prognosfel inte överstiger signifikansgränserna för lags 1-20 Dessutom är p-värdet för Ljung-Box-testet 0 6 vilket indikerar att det finns litet e Kännedom om icke-noll autokorrelationer vid lags 1-20.Vi kan kontrollera om prognosfelen har konstant varians över tiden och distribueras normalt med medel noll genom att göra en tidsplan av prognosfel och ett histogram med överlagrad normal kurva. Från tidsplanen verkar det troligt att prognosfelen har konstant varians över tiden. Från prognosfelns histogram verkar det troligt att prognosfelen normalt fördelas med medelvärdet. Därför finns det få tecken på autokorrelation vid lags 1- 20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models. Exponential smoothing methods are useful for ma king forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stationarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance , as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of firs t differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stati onary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the acf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly fo r this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an a utoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima function in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0 ,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as we ll as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of the 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-v alue for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust veil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predi cted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are norm ally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further r eading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to Professor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University boo k, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Thank you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk.